發票
睽違了 14 個月，我的雲端發票終於中獎了，而且彷彿想要一次補齊，來了三張。
今天真是最幸運的一天。
期望值
期望值（Expected Value） 就是「中獎機率 × 獎金金額」的總和。 代表如果樣本數無限大（例如擁有幾億張發票），平均下來每一張發票可以帶來的價值。
發票的價值？
將統一發票的各個獎項拆解，算出它們各自貢獻了多少「價值」。由於高額獎項機率極低，其實它們對期望值的貢獻比你想像中還少：
1. 千萬特別獎 & 兩百萬特獎
這兩個大獎看起來最誘人，但機率最低，發票共有 8 位數字，一億組號碼。
- 特別獎（1000萬）： 只有 1 組號碼，機率是 1 億分之 1 。
- 貢獻價值：
10,000,000 x 10^{-8} = 0.1 元
- 貢獻價值：
- 特獎（200萬）： 同樣 1 組號碼。
- 貢獻價值：
2,000,000 x 10^{-8} = 0.02 元
- 貢獻價值：
結論： 也就是說，那張千萬發票，只貢獻了 1 毛錢 的價值。
2. 頭獎到六獎
一般發票對獎是看「末幾碼」，但你不能同時領「頭獎」又領「二獎」。如果你中了頭獎（8碼全中），你就不能說你同時也中了二獎（末7碼）。
所以在計算時，必須扣除掉「變成更大獎」的機率。
- 頭獎（20萬）： 3 組號碼。貢獻約 0.006 元。
- 二獎到五獎： 貢獻極低，大多在 0.0X 元 之間。
- 六獎（200元）： 這是期望值的主力軍！
- 通常會有 3 組固定號碼 + 增開號碼。
- 因為中獎率相對高（約千分之 3），它為發票貢獻了約 0.X ~ 1.X 元 的價值（視當期增開組數而定）。
3. 最終算出來的數字是？
將所有獎項的期望值加總後，一張普通紙本發票的「身價」大約落在：
1.48 元 ～ 1.5 元 （視當期增開六獎的組數而波動）
也就是說，當你隨手把一張沒中獎的發票揉掉時，其實是丟掉了 1.5 元的「潛在現金」。
雲端發票：被數學認證的「外掛」
如果你是用載具存發票（雲端發票），數學告訴你：你的發票比較值錢。
因為雲端發票擁有「雙重對獎」資格：
- 一般獎號： 跟大家一樣對上面那 1.48 元。
- 雲端專屬獎： 包含 100 萬、2000 元、800 元、500 元等專屬獎項。
雖然若以「所有可能的英數組合」當分母來計算，雲端專屬獎增加的期望值看似微乎其微。但實際上，雲端發票的抽獎池是從「已開出的發票」中抽取，而非所有排列組合。 現實情況是： 雲端發票的中獎率顯著高於紙本發票，這也讓雲端發票的實際期望值，往往高於紙本發票不少。
我從去年 5-6 月到今年 9-10 月累積了 740 張發票，中獎了 1500 塊。
從數學上看，一般發票（六獎 200 元）的中獎機率是 0.3%。
依照期望值應該是要中 740 張 x 0.3% = 2.2 張，可是我一張都沒中，但是我被雲端發票專屬獎拯救了。
結論
還沒存載具的人快去吧，數學會還你公道的！